Những Dấu Chân Toán Học

Toán học thật là kỳ diệu: bạn chỉ cần đếm một, hai, ba,... thế là xuất hiện các số nguyên tố, hàm zeta, các số hoàn hảo, ma phương, định lý Fermat và nhiều thứ khác nữa; bạn chỉ cần kẻ đường chéo của một hình vuông thì các số vô tỉ hiện ra, điều mà những môn đồ trường phái Pythagoras có vẻ như rất lo sợ; bạn đang kiên nhẫn sắp xếp các số nguyên theo thứ tự vào một cái bảng lớn, bắt đầu từ một góc và lần lượt đi theo các đường chéo kế tiếp nhau, rồi đột ngột bạn bắt gặp bằng chứng khó tin nổi là các số nguyên cũng nhiều như các số vô tỉ, thế là bạn bất ngờ sa lầy vào những nghịch lý rành rành và phiền toái của vô hạn. Đây là cách mà toán học vận hành: bắt đầu từ vài giả thuyết vô thưởng vô phạt, bạn khám phá ra cả một thế giới mới tuyệt diệu, đầy bất ngờ. Cũng như ngôn ngữ cho ta khả năng tung hứng với từ ngữ và tạo ra một vũ trụ huyền diệu, toán học cho ta khả năng tung hứng với các tiên đề và tạo ra cả một hệ thống thứ bậc của các vô hạn, các đường cong Peano, những cái không giải được (undecidables) và hàng nghìn điều kỳ diệu khác.

Toán học được xây dựng theo cách này: người ta chỉ có thể bị mê hoặc bởi sự tương phản giữa vẻ lộng lẫy của nó và tính đơn giản của các giả thuyết làm nảy sinh toán học, bởi vẻ đẹp của các cấu trúc của nó và cảm giác thuần khiết nảy sinh. Trái lại với khoa học phụ thuộc vào các hiện tượng mà nó ra sức tìm hiểu, toán học tự tách rời mình bằng cách nâng lên hàng tiên đề bàn tay giúp đỡ mà Tự nhiên đã chìa ra để bắt đầu cuộc khám phá. Trong khi khoa học phải thường xuyên xem xét lại các khẳng định của mình, thì toán học là bất tử. Khác với một ngôn ngữ thông thường – toán học nói cùng ngôn ngữ như tất cả chúng ta, ngôn ngữ của lôgic – toán học là một tập hợp của các cấu trúc cực kỳ phong phú mà nó đã dựng lên, chỉ dùng lôgic làm xi măng gắn kết và khởi đầu từ một vài giả thuyết đơn giản: các nhóm Lie, các không gian Hilbert, các đa tạp Calabi-Yau, mà các nhà vật lý có thể sử dụng để làm nhẹ đáng kể cho lý lẽ của họ, cũng hệt như các nhà kỹ thuật điện tử sử dụng các mạch tích hợp để lắp ráp một công cụ.

Dĩ nhiên là có sự cám dỗ để tuyên bố rằng toán học không mang nợ tí gì của tự nhiên, rằng toán học không thừa kế gì từ tự nhiên, rằng có khi toán học còn đi trước tự nhiên, rằng toán học chính là xương sống để từ đó tự nhiên xây dựng nên các định luật của mình. Nhưng từ những gì mà chúng ta biết ngày nay về sự hình thành bộ não, cả ở cấp độ cá thể lẫn cấp độ loài, một tuyên bố như vậy khó lòng đứng vững: toán học và lôgic mang nợ các hiện tượng nhiều hơn hẳn so với mức độ ta thường nghĩ cho đến giữa thế kỷ vừa qua. Không còn hợp lý nữa khi khẳng định rằng toán học được mã hóa đầy đủ trong gien của chúng ta: ở giai đoạn tiến hóa nào một sự mã hóa như vậy xuất hiện? Chúng đã phát triển dần dần trong não của đứa trẻ sơ sinh như chúng đã phát triển qua nhiều thiên niên kỷ trong não của loài người.

Điều còn lại là ta có thể ngạc nhiên một cách xác đáng vì sự duyên dáng và vẻ đẹp của các cấu trúc toán học và thấy thật kỳ diệu khi bộ não con người có thể hình dung ra các khái niệm toán học mô tả một cách hết sức trung thực thế giới quanh ta. Nhưng biết lấy thước đo nào để đánh giá mức độ kỳ diệu ấy đây? Không có gì đáng ngạc nhiên, hẳn sẽ có người nói vậy, nếu lôgic và toán học đã thích ứng tài đến vậy đối với sự mô tả tự nhiên của chúng ta: chúng được loài người tạo ra một cách công phu chính là nhằm mục đích ấy.

Trong những trang sách dưới đây, Theoni Pappas mời gọi chúng ta theo bả bước trên con đường in những dấu chân toán học. Nào chúng ta hãy tham gia vào cuộc khám phá hấp dẫn này với sự hiếu kỳ và hăng hái; một chuyến đi vừa thú vị vừa bổ ích, vừa để giải trí vừa để lấy cảm hứng.

- Pierre Darriulat, Viện sĩ Viện Hàn Lâm Khoa Học Pháp